名畫中的數(shù)學(xué)之美
在傳統(tǒng)印象中，數(shù)學(xué)家的樣子是固執(zhí)的、保守的，而藝術(shù)家的樣子是非傳統(tǒng)的、瘋狂的。可以說(shuō)，數(shù)學(xué)和美術(shù)是兩種截然不同的存在。然而，數(shù)學(xué)和藝術(shù)其實(shí)能夠在哲學(xué)層面產(chǎn)生交集。藝術(shù)是形象思維的高度抽象，數(shù)學(xué)是邏輯思維的高度抽象。但數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是“數(shù)”和“形”，所以數(shù)學(xué)中包含“形象邏輯”;藝術(shù)講究邏輯，所以也包含“邏輯形象”——在哲學(xué)的層面上，二者殊途同歸、“高維連通”，這是一種非直觀關(guān)聯(lián)，是更高層面的浸潤(rùn)。實(shí)際上，一些數(shù)學(xué)家在發(fā)現(xiàn)重大定理時(shí)，偶爾也會(huì)通過(guò)“藝術(shù)”的直覺(jué)來(lái)發(fā)現(xiàn)。
藝術(shù)中也有廣闊時(shí)空
作為兩個(gè)領(lǐng)域，藝術(shù)和數(shù)學(xué)的思維方式的確有很大不同，數(shù)學(xué)的思維是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模囆g(shù)的思維是跳躍的、抽象的、發(fā)散的。時(shí)間和空間是數(shù)學(xué)和物理中最基本的概念，那么時(shí)空在藝術(shù)中是如何反應(yīng)的呢?
音樂(lè)是時(shí)間的藝術(shù)，音樂(lè)隨著時(shí)間流淌，一首樂(lè)曲必須從頭聽(tīng)到尾才能理解其含義。而美術(shù)是一種空間的藝術(shù)：繪畫作品是二維的，雕塑作品是三維的。它們?cè)跁r(shí)間上相對(duì)固定(不同時(shí)間點(diǎn)去欣賞同一幅作品，呈現(xiàn)的內(nèi)容基本相同)。不過(guò)，藝術(shù)不是一成不變的，繪畫也可以在作品中“表現(xiàn)時(shí)間”，音樂(lè)也可以“尋找空間”，比如交響樂(lè)比獨(dú)奏的空間感要大得多，表現(xiàn)的內(nèi)容也更豐富。
那么，名畫是如何與數(shù)學(xué)產(chǎn)生交集的呢?事實(shí)上，繪畫的結(jié)構(gòu)“很數(shù)學(xué)”，例如，色彩是繪畫中最基本的重要因素，從三原色開(kāi)始，通過(guò)不同比例的調(diào)配能夠獲得更多的顏色，每一種色彩中紅、黃、藍(lán)的比例是不同且固定的。
因此，色彩可以組成一個(gè)具有x、y、z軸的坐標(biāo)空間，每一種顏色都有屬于自己獨(dú)一無(wú)二的點(diǎn)，比如(255,255,255)為白色，而坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0,0)則為黑色，這就是一種典型的“數(shù)學(xué)”表現(xiàn)。
名畫中的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)
數(shù)學(xué)中最簡(jiǎn)單的形狀是圓、三角形、四邊形，這些形狀不僅在生活中處處可見(jiàn)，還被賦予各種含義，例如圓往往代表“完美”。
古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯很早就發(fā)現(xiàn)了“黃金分割”。據(jù)說(shuō)有一天，畢達(dá)哥拉斯在大街上聽(tīng)到鐵匠在打鐵，他注意到打鐵的聲音非常好聽(tīng)，一強(qiáng)一弱的節(jié)律很有規(guī)律，畢達(dá)哥拉斯通過(guò)分析其中的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)了黃金分割點(diǎn)——這是音樂(lè)節(jié)奏中的數(shù)學(xué)。
喜歡數(shù)學(xué)的人一定知道斐波那契數(shù)列。這個(gè)數(shù)列還有一個(gè)“兔子”版本，即一只兔子生下一只小兔子，一個(gè)月后，小兔子也可以生小兔子。按照這個(gè)規(guī)律，兔子生兔子的數(shù)列就是0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144……這就是斐波那契數(shù)列。斐波那契數(shù)列又稱“黃金分割數(shù)列”——如果把通過(guò)斐波那契數(shù)列計(jì)算出的“黃金矩形”放在一起，便會(huì)進(jìn)一步形成“等角螺線”。“等角螺線”在大自然中也很常見(jiàn)，比如葵花籽的排列方式就是按照等角螺線來(lái)排列的。
除了黃金分割點(diǎn)和等角螺線，自然界還有“黃金角度”——137.5度，如果細(xì)心觀察你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，大自然中的許多樹杈就是137.5度。為什么樹杈會(huì)正好長(zhǎng)到這個(gè)角度?人們發(fā)現(xiàn)，這個(gè)角度正好可以讓樹木獲得最大的采光量。
說(shuō)到繪畫與數(shù)學(xué)的融合，不得不提達(dá)芬奇。他不僅是美術(shù)家，也是數(shù)學(xué)家、科學(xué)家，是文藝復(fù)興時(shí)期的博學(xué)家。《蒙娜麗莎》是達(dá)芬奇的代表作，畫作的比例十分符合等角螺線和黃金三角形定律。后世畫家在處理半身像時(shí)，或多或少都加上了《蒙娜麗莎》的影子，其影響之大可見(jiàn)一斑。而達(dá)芬奇另一幅備受關(guān)注的畫作、人體繪畫的標(biāo)桿《維特魯威人》也包含大量黃金分割。
《維特魯威人》描繪了一個(gè)四肢張開(kāi)的健壯中年男子。如果以頭、足、手為端點(diǎn)，正好外接形成一個(gè)圓形。同時(shí)，在畫中疊加著男子兩臂張開(kāi)平伸的結(jié)構(gòu)，則可以外接一個(gè)正方形。這幅畫，將數(shù)學(xué)的“形”體現(xiàn)得淋漓盡致。
“文藝復(fù)興藝術(shù)三杰”中除了達(dá)芬奇，拉斐爾的畫作同樣結(jié)構(gòu)明顯。例如《嘉拉提亞的凱旋》的結(jié)構(gòu)是由多個(gè)三角形組成。
藝術(shù)走在了數(shù)學(xué)之前
工業(yè)革命后，數(shù)學(xué)界經(jīng)歷了一次危機(jī)。從微積分的誕生，到關(guān)于“無(wú)窮小”的爭(zhēng)論，再到非歐幾何的崛起、隨機(jī)問(wèn)題對(duì)傳統(tǒng)的挑戰(zhàn)等，數(shù)學(xué)家的眼光逐漸從具象轉(zhuǎn)向抽象。
同一時(shí)期，畫家也受到了嚴(yán)酷的挑戰(zhàn)：特別是19世紀(jì)初，照相機(jī)的問(wèn)世讓一批畫家丟掉了飯碗，這時(shí)候?qū)τ诋嫷谩叭绾蜗駥?shí)體”的追求已經(jīng)已經(jīng)走到了盡頭，藝術(shù)家們?cè)诜酱绠嫴忌希查_(kāi)始追求“抽象”和“感覺(jué)”，印象派畫家開(kāi)始引領(lǐng)風(fēng)潮，其獨(dú)有的朦朧風(fēng)格畫作引起世人廣泛的共鳴。
可以說(shuō)，這回藝術(shù)走到了數(shù)學(xué)前面。數(shù)學(xué)一直以精準(zhǔn)著稱，然而直到印象派崛起的一個(gè)世紀(jì)后，數(shù)學(xué)界才發(fā)展出“模糊數(shù)學(xué)”學(xué)科(美國(guó)學(xué)者扎德發(fā)表“模糊集合”論文，標(biāo)志模糊數(shù)學(xué)誕生)。
什么是模糊數(shù)學(xué)?我們可以用一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)理解一二，比如老師說(shuō)“請(qǐng)高個(gè)子同學(xué)站起來(lái)”，你一定會(huì)想：我算不算高個(gè)子呢?但如果老師說(shuō)“請(qǐng)一米七以上的同學(xué)站起來(lái)”，這時(shí)符合條件的同學(xué)就會(huì)起立。有了模糊數(shù)學(xué)，我們就可以通過(guò)計(jì)算“一米七是高個(gè)子的概率有多少”來(lái)描述高個(gè)子這個(gè)模糊概念。模糊數(shù)學(xué)目前在許多領(lǐng)域(包括醫(yī)學(xué))中被大量應(yīng)用。
其實(shí)，藝術(shù)與數(shù)學(xué)的發(fā)展都是無(wú)窮盡的。至少?gòu)哪壳叭祟愓莆盏闹R(shí)來(lái)看，我們還有很長(zhǎng)的路要走。我們可以把每個(gè)學(xué)科看成是不同的道路，或許在不同的時(shí)間和地點(diǎn)，這些路途就會(huì)產(chǎn)生交集，從而出現(xiàn)讓人類覺(jué)得不可思議的、看似巧合卻并非巧合的事物。
不止達(dá)芬奇有密碼
文藝復(fù)興時(shí)期的德國(guó)藝術(shù)家丟勒留下了大量的版畫作品，其中最有名是《抑郁癥I》。在這幅作品中，多面體、球體、圓規(guī)、尺子代表幾何學(xué);刀鋸、刨、錘代表工程學(xué);船錨、指南針代表航海學(xué);天平、沙漏、鐘代表科學(xué)。而最有意思的是少女頭頂上代表數(shù)學(xué)的4×4幻方。
幻方上的數(shù)字橫豎加起來(lái)都是34，是斐波那契數(shù)列中的數(shù)字。而且對(duì)角線上元素的平方和748或立方和9248等于非對(duì)角線上的元素平方和或立方和。幻方最下面一行中間的兩個(gè)數(shù)字15、14正是這幅畫創(chuàng)作的年代1514年，時(shí)年丟勒正好43歲，是34的鏡像。這種直接將數(shù)學(xué)研究成果放在藝術(shù)品里真是神來(lái)一筆。
